理想采样傅立叶分析

对于任何连续信号 $f(x)$ ，以采样间隔 $T$ 进行离散采样，采样结果可写成加权冲激串形式

g(x)=\sum_{i}f(x)\,\delta(x-iT) \tag{1}

对 $(1)$ 式做傅立叶变换

\mathcal{F}\{g(x)\} = \mathcal{F}\{f(x)\}\ast \mathcal{F}\left\{\sum_i\delta(x-iT)\right\} \tag{2}

假设我们用 $r(x)$ 做重建核，对采样后的冲激串 $g(x)$ 进行重建，试图恢复 $f(x)$ 的原始信号

f^{\prime}(x) = (g\ast r)(x) = \int g(\xi)r(x-\xi)\mathrm{d}\xi \tag{3}

对 $(3)$ 式做傅立叶变换，并带入 $(2)$

\begin{align} \mathcal{F}\{f^{\prime}(x)\} &= \mathcal{F}\{g(x)\}\, \mathcal{F}\{r(x)\} \\ &= \underset{1}{\underline{(\mathcal{F}\{f(x)\}\ast \mathcal{F}\left\{\sum_i\delta(x-iT)\right\})}}\, \underset{2}{\underline{\mathcal{F}\{r(x)\}}} \tag{4} \end{align}

我们的目的是让 $\mathcal{F}\{f^{\prime}(x)\} = \mathcal{F}\{f(x)\}$ 。进一步分析 $(4)$ 式可以发现，因为狄拉克函数的傅立叶变换是另一个狄拉克函数，下划线标注的 $1$ 部分实际上是 $\mathcal{F}(f)$ 多个固定间隔复制，所以只要区间不重叠， $2$ 部分的重建函数是个足够宽的理想低通，即可满足条件。记

p_T(x)=\sum_i\delta(x-iT),\qquad \omega_s=\frac{2\pi}{T}.

则采样脉冲串的傅立叶变换为

\mathcal{F}\{p_T(x)\} = \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-k\omega_s). \tag{5}

因此，由 $(2)$ 可得

\mathcal{F}\{g(x)\} = \frac{1}{2\pi}F(\omega)\ast \frac{2\pi}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-k\omega_s) = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(\omega-k\omega_s). \tag{6}

这说明采样后的频谱是原频谱 $F(\omega)$ 以间隔 $\omega_s$ 的周期复制。若原信号存在 $\omega_m$ 使得

F(\omega)=0,\qquad |\omega|>\omega_m,

并且满足采样定理

\omega_m<\frac{\omega_s}{2}=\frac{\pi}{T}, \tag{7}

则各个频谱副本互不重叠，不发生混叠。此时若取重建核 $r(x)$ 的频响为理想低通滤波器

R(\omega)=\mathcal{F}\{r(x)\} = \begin{cases} T, & |\omega|<\dfrac{\omega_s}{2},\\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases} \tag{8}

则由 $(4)$ 可得

\mathcal{F}\{f'(x)\} = \mathcal{F}\{g(x)\}R(\omega) = \left(\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}F(\omega-k\omega_s)\right)R(\omega).

由于 $R(\omega)$ 只保留主频带 $|\omega|< \omega_s/2$ ，且在该频带内只有 $k=0$ 的频谱副本存在，因此

\mathcal{F}\{f'(x)\} = \frac{1}{T}F(\omega)\cdot T = F(\omega). \tag{9}

于是

f'(x)=f(x). \tag{10}

再对 $(8)$ 作反傅立叶变换，可得对应的时域重建核为

r(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_s/2}^{\omega_s/2}T e^{j\omega x}\,d\omega = \frac{\sin(\pi x/T)}{\pi x/T} = \operatorname{sinc}\!\left(\frac{x}{T}\right). \tag{11}

因此，当重建核取 sinc 函数时，可实现完美重建：

f(x)=\sum_i f(iT)\operatorname{sinc}\!\left(\frac{x-iT}{T}\right). \tag{12}