Ruiyao Luo 2025

Prof. Gilbert 在 MIT 公开课中给出了非常好的解释。如果你对微分方程感兴趣, 请一定不要错过。

线性

\begin{align} y^{\prime}(x) + P(x)y(x) = Q(x) \end{align}

这个形式的积分方程我们不会解, 但是如果他长这样的话:

\begin{align} \mu y^{\prime} + \mu ^{\prime}y = Q(x)\nonumber \end{align}

就可以根据乘积求导法则得到:

\begin{align} \mu y^{\prime} + \mu ^{\prime}y = Q = \frac{d}{dx}(\mu y)\nonumber \end{align}

最后两边同时积分移项即可。

\begin{align} \mu y &= \int Q\mathbf{d}x\nonumber\\ y &= \frac{1}{\mu}\int Q\mathbf{d}x\nonumber \end{align}

因此构造 $\mu$ 使 $\mu^{\prime} = \mu P$ , 解齐次方程得到 $\mu$ :

\begin{align} \frac{\mu^{\prime}}{\mu} &= P\nonumber\\ ln(\mu) &= \int P\mathbf{d}x + a\nonumber\\ \mu &= Ce^{\int P\mathbf{d}x} \end{align}

在 $(1)$ 式左右同时乘上 $\mu$ , 两边同时积分:

\begin{align} \mu (y^{\prime}+Py) &= \mu Q\nonumber\\ \mu y^{\prime} + \mu Py &= \mu Q \nonumber\\ \mu y^{\prime} + \mu^{\prime}y &= \mu Q\nonumber\\ \mu y &= \int \mu Q \mathbf{d}x + C\nonumber\\ y &= \frac{1}{\mu} (\int \mu Q \mathbf{d}x + C) \end{align}

如果原方程是齐次的, 即 $Q(x) = 0$ , 那,

\begin{align} y_h &= \frac{1}{\mu}C\nonumber \end{align}

如果原方程非齐次, 但特别的取常数 $C = 0$ , 那么,

\begin{align} y_p &= \frac{1}{\mu}\int \mu Q \mathbf{d}x\nonumber \end{align}

观察 $(3)$ 式加号左右两边不难发现, 一阶线性微分方程的通解由齐次解和特解构成, 即 $y = y_p + y_h$ 。